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游戏的概率计算(2)——期望

遊戲的概率計算(2)——期望-騰訊遊戲學堂

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遊戲的概率計算(2)——期望

發表於2016-04-05 評論 瀏覽 遊戲的概率計算(2)——期望

先推薦一本書《全景遊戲設計》，本文會引用書中的部分例題，展開我對遊戲各種場合期望值的計算的一些不同看法，拋磚引玉，與各位探討。

隨機帶來偶然性，偶然性有時候就是驚喜，最不濟也是挫折，適當的挫折帶給人挑戰的動力，讓人擺脱無聊的體驗。

1.1.從一個賭徒説起

1654年，法國貴族Antoine遇到了一個問題。他是一名狂熱的賭徒，他曾經玩過一種賭法，擲4次骰子，賭能夠至少有一次擲出6點。他從這種賭博中賺了大錢，但是他的朋友們已經厭倦了失敗，並且拒絕再與他玩這個遊戲。

為了找到一種新的方法來繼續榨取他朋友們的錢財，他發明了一種新的玩法，並相信這種玩法與前一種擁有相同的勝算。在這種新玩法中，他擲24次骰子(每次投擲2個骰子)，賭至少有一次能擲出12點（2個6點）。他的朋友們起初都對這個玩法心存疑慮，但很快就都開始喜歡上這個新遊戲——因為Antoine開始飛快的輸錢。Antoine感到很迷茫，因為他通過自己的計算，得出兩個遊戲擁有相同的勝算：

第一種玩法：擲一個骰子4次，如果至少擲出一次6，則Antoine贏。

他的理由是，單獨擲一次6點的概率是1/6，因此如果擲4次骰子出6點的概率是：4x(1/6)=66%，這也就説明了他容易贏錢的原因。

第二種玩法：擲一對骰子24次，如果至少擲出一次12點，則Antoine應。

Antoine判定用一對骰子擲出12點的概率是1/36，接着他推論，擲24次骰子的概率應該是24*（1/36）=66%，與之前玩法擁有相同的勝算。

因為輸了錢而茫然的Antoine給數學家帕斯卡寫了一封信，希望能夠得到一些建議。帕斯卡發現這個問題很有趣——當時已有的數學方法還不能回答這些問題。於是帕斯卡給費馬寫信尋求幫助。兩人漫長的書信往來，伴隨着越來越多問題的解決和相應的解決方法的不斷發現，誕生了數學的新分支——概率論。

故事講完，長話短説開始計算，順便介紹一下Excel中容易被忽視的概率統計函數：

1>第一種玩法：擲一個骰子4次，至少擲出一次6。

這是一個成功率為p=1/6的二項分佈，在excel中有2種計算方法：

方法1，使用combin組合函數，利用公式ans=c(m,n)p^n(1-p)^(m-n)，

先求出4次擲骰中，4次都沒有6的幾率，然後用1去減。

方法2，使用二項分佈BINOM.DIST函數，直接求解，

先求出，4次擲骰中，正好0次6的幾率，然後用1去減。

BINOM.DIST函數的使用説明如下：

2>第二種玩法,擲一對骰子24次，至少擲出一次12點

數據	説明
試驗成功次數
獨立試驗次數
每次試驗的成功概率
公式	説明	結果
4次試驗正好成功 0 次的概率。

使用同樣的方法，所求結果ans=1-0.509=0.491，這就是第2種賭法，Antoine會輸錢的原因。

那麼Antoine究竟在哪裏犯了錯？擲一個骰子4次，得到6的個數期望值確實是4*(1/6)，但這並不是贏的次數的期望值，因為無論在一把4次的投擲骰子時，無論是1個6還是4個6，都只能算作贏一場。

注：excel還有其它幾個常用分佈的計算，如泊松分佈用函數Poisson,超幾何分佈用Hypgeomdist。

1.2.遊戲中的期望值1.2.1.技能的期望傷害

同樣的，在遊戲裏，我們也經常有意無意的犯了同樣的「錯」，比如下表的技能：

技能名稱	命中率	傷害值
風
火球
閃電球

我們很容易就把這3個技能的期望值分別算出，風=100%*4=4；火球=80%*5=4；閃電球=20%*40=8。

和1.1賭博的例子類似，當被這些技能攻擊的角色，生命值低於技能傷害時，會有傷害的浪費，但這部分傷害，在上一段的計算方法中，被計入了。

以雙方均為20生命為例，閃電球在命中成功時，有效的傷害也只有20點而已。似乎，我們應該考慮用20作為閃電球的傷害值，來進行期望傷害的計算，20%*20=4。

期望值的計算調整為，Edam=Min(技能傷害值，目標生命值)*命中率。這也是《全景遊戲設計》中介紹的方法。

在遊戲的平衡設計中，我們常使用期望值來作為實際的遊戲體驗的——勝負——情況的參考的利器，但實際上他總與實際情況有着差異。

以技能風，傷害值4，命中率100%和閃電球傷害值20，命中率20%的2個技能比較為例，分別攜帶這2個技能的生命值均為hp(1<=hp<=100)的2個角色互相PK為例，將風的勝利統計為1，風的失敗統計為-1，平局統計為0(注：模擬時，認為雙方總是同時出手，勝利條件為，某個回合後自己的生命值大於0，但對方的生命值小於等於0；失敗條件則完全相反；平局意味着，某個回合自己和對方生命值一起小於等於0)。

則進行大量實驗的結果x(x的取值為-1,0,1)的平均值ave，ave越接近0表示雙方的勝負情況越接近。對hp=1,2,…,100分別進行10萬次的統計，得到如下的結果：

（每個縱坐標x的值表示的是勝利比失敗多出的比例）

可以看到隨着生命值hp的提高，x的取值以周期震蕩形態逐漸的靠近0。這意味着平衡性隨着生命值的提高而變好。

我們如果深入下去，很多值得思索的地方：周期看起來非常像是20，這是偶然嗎；各周期的波峯波谷絕對值逐漸減少這是必然嗎；每個周期內的均值是多少，能夠計算嗎？

儘管這幾個問題很值得探討，但本文並不打算深入下去。本文主要的目的，是指出一些「標準流程」中容易過度自信的地方，指出實際情況與計算結果之間產生誤差的原因，並儘可能圈出「安全範圍」。

對於這個問題，我們看到，只要提高生命值到一定的程度，誤差就可以被控制在一定的範圍之內。對上述技能風與閃電球的比較中，我們可以粗略的認為，每次的波峯衰減至80%左右。基於此，在10個周期內，偏差會小於0.8的10次方（約為10%），即，200點生命值對於期望值為4的傷害，是足夠精確的。

到這裏，我們還需要對偏差產生的原因，定性的分析一下，(順便也解釋一下，上文圖中呈現試驗數據並不是由於代碼錯誤之類的原因造成的，它真的是這樣)。我們理一下思路，風(攻擊4，命中100%)和閃電球(攻擊20，命中20%)比較，第一次交手，雙方都能有機會出手，但在第2次交手時，風的技能能否出手，取決於閃電球前面的交手是否命中了他——如果第一次交手就被閃電球命中，第2回合就無法出手。所以，風的5個回合內的平均傷害=4,4*0.8,4*0.8^2,4*0.8^3,4*0.8^4/5=2.7。

1.2.2.武器的期望傷害和擲骰子

武器的期望有2種情形，1種是暴擊，另1種是武器攻擊力的上下限。

我們在計算時，會認為50點攻擊的武器——劍，和40點攻擊並且25%的幾率發生2倍的暴擊傷害的武器——匕首，具有同樣的期望傷害50點。在實際的屬性投放時，基於某些考慮（比如1.2.1中的傷害溢出，或是和其它帶暴擊效果的比如技能等模塊的疊加規則，以及生命值的設置等），暴擊的發生概率和暴擊的傷害倍率會酌情調整，參考Dota的幾個暴擊技能(排除了幻影刺客的大招、熊貓和賞金的帶閃避暴擊複合技能)：

骷髏王，15 % 的幾率造成2 .75 倍傷害的致命一擊，期望傷害126%

小娜迦，45 % 的幾率造成1 .5 倍致命一擊,期望傷害122.5%

劍聖，36 % 的幾率造成2倍致命一擊，期望傷害136%

骷髏王，由於是力量影響，血量和攻擊頻率與敏捷英雄有差異，也排除掉，觀察劍聖和小娜迦，看到dota在這個場合下，對爆率更低的單位給予了更多的期望傷害的補正。

與暴擊類似的，是武器的攻擊上下限，這和D&D規則中的nDm，以及多次擲骰的期望和相似，也可以將之認為是前面武器或技能的暴擊的推廣。

以下面的一個賭博玩法為例：

遊戲內置了一個賭博玩法，在一個有分支的路線上，散佈着玩家可見的寶箱，玩家通過投擲一個範圍[1,6]的骰子，來隨機距離的進行移動，並獲得沿途經過的格子上的寶箱，參考下圖：

為簡化計算，我們先以一個10格長賭的線性路徑為例，平均投擲多少次骰子，才能到達終點（點數和大於等於10）。

如果用期望值，1~6的骰子，每次的期望投擲點數=（1+2+3+4+5+6）/6=3.5，直覺上，平均投擲10/3.5≈2.86次骰子。

到這裏大家應該已經能夠習慣偏差了，是的，在擲出1次6之後，無論擲出4還是5、6，都能夠到達終點，但5和6的出現拉高了擲骰的期望點數，就像拉高我們的平均工資一樣。。

解決這個問題，我們先要解決的問題是，n次擲骰，剛好點數和為s的概率，之後就可以通過求n次擲骰子的點數和為10,11,12,…,6n的概率和，來分別計算n次骰子能夠到底終點的概率，對這組概率再進行簡單的計算，就能夠求出擲骰子次數的期望值了。

計算n次擲骰，剛好點數和為s的概率，有不下7種方法，這裏列出操作性較高的幾種方法：

n離散多重卷積公式

n求(1+x+x^2+...+x^5)^n中x^(s-n)的係數

n函數遞歸

n程序模擬

n馬可夫過程

這裏用程序模擬的方法，最終分別10萬次模擬到達終點，求出10組分別的平均擲骰子的次數如下：3.32491,3.3225,3.32618,3.32693,3.32595,3.32468,3. pp88娛樂城 32445,3.32322,3.32175,3.32769

這個結果的精確值是3.32369，與開始的2.86差距還是有些大的。

1.3.蒙特卡洛模擬

上個月圍棋界的李世石VS阿發狗，讓很多人聽到了「蒙特卡洛」這個名詞，其實大多數數值策劃都用過這個模擬方法——我們使用vba或是其它的工具，進行若干次數的循環模擬計算結果，就是蒙特卡洛模擬的一種應用方式。

雖然最早認為這種方法的應用，是蒲豐投針試驗，但是我個人認為最早的應用可能是在占卜。另外，中學的生物課裏學過的孟德爾豌豆實驗，也是使用了蒙特卡洛方法。

蒲豐投針試驗

孟德爾豌豆實驗

現在，隨着計算機性能的提高，這種模擬、統計和計算都交給計算機了。

具體模擬的方法，可參考：

《簡述如何製作戰鬥模擬器》

在Mathematica裏，這個模擬更加簡單:

其中k=10，即所求之和

很多人都説過，戰鬥的模擬器的製作沒什麼用，其實這有2種意思：一種説法是，我有更好的辦法；另一種説法是，這東西我得不到對我遊泳的效果。阿發狗都4比1碾壓李世石了，這應該能説明一部分問題了。我希望每個這樣説的人，都掌握了更好的方法。

在概率計算(1)中，留了個問題，這裏用另一個更一般的問題回答吧：

問題是，一個集字活動期間，玩家每完成一次副本，都有幾率獲得一個漢字（這個字可能是「八仙過海，各顯神通」之一，每個字的概率各不相同，分別為p1,p2,p3,…,p8），收集齊一套漢字，就可以獲得活動獎勵，活動期間，僅可獲得一次獎勵，且漢字不可以交易交換。求玩家需要打多少次副本，才能獲得獎勵？

數學解，答案是：

牛刀小試一番，我們用它計算蛋刀套裝的收集次數問題，設蛋刀主手掉率p1=0.1；副手p2=0.05；計算獲得一套蛋刀需要計算的boss的平均數量：

得到結果，ans=23.3333

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"棒球娛樂城：為棒球迷帶來全新的娛樂體驗"

棒球娛樂城：為棒球迷帶來全新的娛樂體驗

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"擁抱風險：21點規則中的保險策略的重要性"

擁抱風險：21點規則中的保險策略的重要性

在生活中，風險無處不在。無論是投資、事業還是個人生活，我們都會面臨各種風險。然而，擁抱風險並且制定有效的保險策略是非常重要的。這篇文章將探討21點規則中的保險策略的重要性。

1. 保護資產

保險策略可以幫助我們保護我們的資產。例如，當我們購買汽車保險時，如果發生事故，保險公司將支付修理費用。這樣我們就不必擔心因為意外而損失資產。

2. 經濟安全

保險策略可以提供經濟安全。例如，當我們購買人壽保險時，如果不幸去世，保險公司將支付給我們的家人一筆金錢。這可以幫助他們應對生活費用、教育費用等開支，確保他們的經濟安全。

3. 減輕風險

保險策略可以幫助我們減輕風險。例如，當我們購買健康保險時，如果需要醫療治療，保險公司將支付一部分或全部的醫療費用。這樣我們就可以減輕因為醫療費用而帶來的負擔。

4. 提供心理安慰

保險策略可以提供心理安慰。知道自己有保險可以幫助我們應對可能發生的風險，減輕壓力和擔憂。例如，當我們購買家庭保險時，如果家裡發生火災，保險公司將支付重建費用。這樣我們就能夠放心，知道即使發生不幸事件，我們有保險可以支持我們。

5. 規劃未來

保險策略可以幫助我們規劃未來。例如，當我們購買退休保險時，我們可以每月支付保費，以換取退休時每月固定的金錢收入。這樣我們就可以在退休後享受穩定的生活，不必擔心財務問題。

結論

擁抱風險並制定有效的保險策略是非常重要的。保護資產、提供經濟安全、減輕風險、提供心理安慰和規劃未來都是保險策略的重要優點。無論是個人還是企業，我們都應該認識到保險策略的價值，並根據自己的需求制定相應的保險計劃。

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